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La paradoja del cumpleaños

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Recuerdo cuando era pequeño la ilusión que me hacía que llegase el día de mi cumpleaños. Esta fecha venía acompañada de una reunión con merienda a la que asistían mis amigos, compañeros de clase y familiares, en la que recibía muchos regalos y yo era el centro de atención. Cada año estaba más cerca de poder sacarme la licencia para conducir una scooter, aprobar el carnet de conducir de coche o ir a la universidad. Sin embargo, ahora cumplir años solamente significa sentirme menos joven y una mayor dificultad para juntar a 4 ó 5 amigos.

A pesar de ello, para la mayoría de adultos, cumplir años sigue significando felicitaciones de aquellas personas más próximas. Y debido a que hace pocas semanas era yo quien recibía estas felicitaciones, he querido hablaros hoy de la paradoja del cumpleaños.

Si todavía no has oído hablar de ella, te haré las siguientes preguntas:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 23 personas, el cumpleaños de alguien se repita? Supongamos que se trata de un año no bisiesto y de que en el grupo no hay mellizos.
  2. ¿Y cuál es el mínimo de personas que debería tener un grupo para que sea más probable que dos personas cumplan años el mismo día a que no se repita un cumpleaños?

La mayoría de las personas, al encontrarse ante estas preguntas, aplican los principios de la probabilidad:

  1. Probabilidad de que algo suceda = casos favorables / casos posibles = 23 / 365 = 6%.
  2. La mitad de la población más 1 tiene mayor probabilidad que la otra mitad = (365  / 2) + 1 ≃ 183. Por lo tanto, un grupo de 183 personas o más tiene más probabilidad de que dos personas repitan cumpleaños a que no haya nadie con dos cumpleaños iguales.

Sin embargo, todos aquellos que llegan a estas conclusiones están equivocados porque para un grupo de 23 personas, la probabilidad de que existan dos cumpleaños en la misma fecha es de 49,27% (≃50%) y, por tanto, con 24 personas hay más probabilidades de que cumplan años dos personas la misma fecha de que no (cerca del 54%). ¡¿Cómo?!

Muchas personas creen que la probabilidad de un grupo, de tan solo 24 personas, es mucho más baja pero, en realidad, llamar a este hecho Paradoja del Cumpleaños (como es habitualmente conocido) también es incorrecto, debido a que se trata de una verdad matemática que contradice la común intuición. Para encontrarnos ante una paradoja, si atendemos a su definición, debería haber una contradicción lógica, que no la hay.

La conclusión incorrecta a la que algunos han llegado anteriormente sería acertada si esperamos la repetición de un día concreto. Por ejemplo, si reunimos a 22 personas en la calle, ¿cuál es la probabilidad de que alguien cumpla años el mismo día que yo? Mi cumpleaños es una día concreto, y por lo tanto, la probabilidad sería del 6%.

La clave para entender la correcta solución es pensar en parejas. Para calcular la probabilidad de encontrar dos personas con cumpleaños el mismo día, debemos tener en cuenta que las repeticiones pueden darse entre dos días cualquiera, por lo que pueden combinarse entre sí. En un nuevo ejemplo en el que, solamente, se puede dar un caso posible de que el cumpleaños (C) de las personas A y B sea el mismo día: CA = CB. Para 3 personas (A, B, C): CA = CB, CA = CC, CB= CC. El cálculo para encontrar parejas sería = [n x (n-1)] / 2. Por lo tanto, para 23 personas, tendríamos [23 x (23-1)]/2 = 253 parejas, y, cada una de ellas es un candidato potencial para cumplir con la “paradoja”.

Para que sea más sencillo de entender, imaginad 4 puntos. Un punto se une con el resto a través de 3 líneas rectas. Sin embargo, la Paradoja del Cumpleaños explica que todos los puntos están unidos con todos y, por tanto, hay muchas más probabilidades [4 x  (4-1)]/2 = 6.

Ahora, vamos a pensar la probabilidad de que 2 personas cumplan años en diferentes fechas. Para ello, la segunda persona debe haber nacido durante los 364 días restantes al día que nació la primera persona, es decir, (365/365) x (364/365). Mientras que, para 3 personas sería (365/365) x (364/365) x (363/365) y así sucesivamente. Escrito de otro modo, la probabilidad de que en un grupo de n personas cumplan años en diferentes días es de:

fórmula

Para aquellas personas que nunca hayan visto !, con estos dos sencillos ejemplos lo entenderán fácilmente:

3! = 3 x 2 x 1

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Por el contrario, si pretendemos averiguar la probabilidad de que al menos un cumpleaños coincida, simplemente debes restar 1 a la probabilidad de que ningún cumpleaños coincida.

imagen 3

Ahora que ya conoces la Paradoja del Cumpleaños, ¿sabrías calcular la probabilidad de que al menos dos compañeros de trabajo cumplan años el mismo día? Aquí tienes una tabla que te puede servir de ayuda:

Fuente: www.cifrasyletras.com

PD: si has pensado en reunir a compañeros de trabajo y apostar a que al menos dos de vosotros celebráis el cumpleaños el mismo día para ganar algún dinerito extra, recuerda que a partir de 56 personas tienes una probabilidad de ganar del 99%.

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diecinueve + 20 =

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